In [3]:
g = nx.Graph({1: [2, 3, 4]})
nx.draw_networkx(g)
from IPython.display import display, Markdown
On pourra visualiser les graphes créés avec networkx
import networkx as nx
g = nx.Graph({1: [2, 3, 4]})
nx.draw_networkx(g)
g = nx.Graph([(1,2), (2,3), (4, 5)])
nx.draw_networkx(g)
1. Écrire une fonction en Python qui étant donné un entier $n$ et une probabilité $p$, renvoie un graphe aléatoire d'Erdős–Rényi de paramètre $(n, p)$ sous la forme que vous voulez.
from typing import Dict, Set
import random
def gen_er_graph(n: int, p: float) -> Dict[int, Set[int]]:
res = {i: set() for i in range(1, n+1)}
for i in range(1, n):
for j in range(i+1, n+1):
if random.random() < p:
res[i].add(j)
res[j].add(i)
return res
g = gen_er_graph(32, 0.1)
nx.draw_networkx(nx.Graph(g))
2. Écrire une fonction en Python qui étant donné deux entiers positifs $n$ et $k$ trace la courbe d'évolution de la taille moyenne de la plus grande composante connexe maximale d'un échantillon de $k$ graphes aléatoires d'Erdős–Rényi de paramètre $(n, p)$ pour $p$ allant de $0$ à $1$.
from typing import List
def connex_components(graph: Dict[int, Set[int]]) -> List[List[int]]:
res: List[List[int]] = []
to_visit = [next(iter(graph.keys()))]
visited = set()
current_component = []
while len(visited) < len(graph):
if not to_visit:
res.append(current_component)
current_component = []
current_node = next(n for n in graph.keys() if n not in visited)
else:
current_node = to_visit.pop()
if current_node in visited:
continue
visited.add(current_node)
current_component.append(current_node)
for neighbour in graph[current_node]:
# On pourrait éviter `visited` et se contenter de regarder si les
# voisins sont danc `current_component`
if neighbour in visited:
continue
else:
to_visit.append(neighbour)
res.append(current_component)
return res
def er_giant_component_size_average(n: int, p: float, k: int) -> float:
sizes_sum = 0
for _ in range(k):
g = gen_er_graph(n, p)
components = connex_components(g)
size = max(len(c) for c in components)
sizes_sum += size
return sizes_sum / (n*k)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
P = np.linspace(0, 1, 100)
S = [er_giant_component_size_average(128, p, 32) for p in P]
plt.plot(P, S)
plt.show()
Le seuil d'explosion de la taille de la composante géante est à $p=\frac{1}{n}$, on le voit mieux en ne prenant qu'une partie de l'échelle en abscisse :
P = np.linspace(0, 4/128, 100)
S = [er_giant_component_size_average(128, p, 32) for p in P]
plt.plot(P, S)
plt.show()
3. Écrire une fonction en Python qui étant donné deux entiers positifs $n$ et $k$ et $p$ compris entre $0$ et $1$ donne une représentation du nombre moyen de nœuds de degré $d$ en fonction $d$ sur un échantillon de $k$ graphes aléatoires d'Erdős–Rényi de paramètre $(n, p)$.
Écrire une fonction en Python qui étant donné deux entiers positifs $m$ et $n$ avec $m<n$, renvoie un graphe alétoire de Barabási–Albert à $n$ nœuds et $m$ nœuds de départ.
Écrire une fonction en Python qui étant donné deux entiers positifs $n$ et $k$ avec $k⩽n$ et un nombre $p$ compris entre $0$ et $1$, renvoie un graphe alétoire de Watts–Strogatz à $n$ nœuds, de degré moyen $k$ et de probabilité de reconnexion $p$.